Statik	Reibung	Elastizität	Dynamik	Schwingungen

Für Taktlose

m1=2 kg m2=1 kg T=2 s

Um eine Kreisscheibe mit dem Radius R und der Masse m₁ ist ein nichtelastisches Band geschlungen, das mit 2 gleichen Gewichten m₂ belastet und über 2 identische Federn vorgespannt ist. Die Massen des Bandes und der Umlenkrollen A, B können vernachlässigt werden.
Wie groß muß die Federkonstante k sein, damit die Kreisscheibe des skizzierten Taktgebers nach einem kleinen Anstoß Drehschwingungen mit der Schwingungsdauer T durchführt ?

Für Taktvolle

k=0.04 N/mm m=50 g L=10 cm a=4 cm

Der idealisierte Taktgeber eines Metronoms besteht aus einem drehbar gelagerten, masselosen, starren Stab mit einer verschiebbaren Punktmasse m im Abstand L vom Drehpunkt. Der Stab wird im Abstand a vom Gelenklager durch eine Feder (Federkonstante k) horizontal abgestützt. Das System führt freie Schwingungen um die senkrechte Ruhelage aus
Ermitteln Sie die Eigenfrequenz f des Systems für kleine Auslenkungen.

Für Ratsuchende

a=600 mm b=550 mm c=450 mm α=45° kw=2.5 kN/cm kr=8 kN/cm JA=8 kgm2

Mit welcher Eigenkreisfrequenz ω schwingt die skizzierte Radaufhängung (Eigengewicht F_g) bestehend aus Reifen, Rad und Federschwinger bei kleinen Auslenkungen φ aus der horizontalen Ruhelage?
Das System (Massenträgheitsmoment J_A) ist um A drehbar gelagert. Es wird durch den elastischen Reifen (Steifigkeit k_r) und eine Schraubenfeder (Federkonstante k_w) abgestützt.
In der Ruhelage sind Feder und Reifen infolge Eigenbelastung F_g jeweils mit den Kräften F_wo und F_ro vorgespannt.

Für Wechselhafte

LA=220 mm LB=80 mm TA=2 s g=9.81 ms-2

Die Periodendauer des skizzierten Reversionspendels um den Aufhängepunkt A hat, kleine Auslenkungen vorausgesetzt, den Wert T_A. Der Abstand zwischen Aufhängepunkt A und Schwerpunkt S wurde mit dem Betrag L_A vermessen. Die entsprechende Strecke zwischen den Punkten B und S hat die Länge L_B. Die Punkte A und B liegen gemeinsam mit dem Schwerpunkt auf einer Geraden.
Wie groß wäre die Periodendauer T_B des Pendels um den Aufhängepunkt B ?

Für Schwankende

L=5 m I=2.5 dm4 E=210 GPa m=1400 kg

Bestimmen Sie die Schwingungsfrequenz f des skizzierten Rahmens. Der Rahmen besteht aus zwei näherungsweise massefreien, elastischen Pfeilern (Länge L, Flächenmoment 2. Ordnung I, Elastizitätsmodul E) die starr mit einer nicht verformbaren Querstrebe der Masse m verbunden sind. Die Rahmenschwingungen ergeben sich aus horizontalen Auslenkungen der Querstrebe verbunden mit Biegungen der Pfeiler (s. Skizze). Knickbiegewirkungen infolge axialer Belastungen der Pfeiler durch die Masse m sollen vernachlässigt werden.

Für Hörige

Vo=20 l, D=110 mm L=1.7 dm, R=3 cm ρ=1200 g/m3

Wie groß ist die untere Grenzfrequenz der skizzierten Bassreflexbox mit dem Boxenvolumen V_o bei einem statischen Luftdruck von 1 bar ?
Mechanisch gesehen handelt es sich bei diesem Lautsprechertyp um einen über die Membran erregten, gedämpften Masse-Feder Schwinger (s. Skizze). Die Feder entspricht dem elastischen Luftvolumen innerhalb der Box. Zur Vermeidung akustischer Kurzschlüsse bei tiefen Frequenzen müssen Lautsprechermembran (Durchmesser D) und effektiv bewegte Luftmasse im Bassreflexrohr gegenphasig schwingen.
Das Bassreflexrohr besitzt die Länge L und den Radius R. Luft (Adiabatenexponent 1.4) hat die Dichte ρ.

Für Depressive

L=2 m, h=5 cm, b=10 cm E=210 GPa m=50 kg M=1.5 kg, e=10 mm d=1200 kg/s Ω=32 Hz

Am freien Ende eines einseitig, fest eingespannten (näherungsweise masselosen) Balkens (Länge L, Höhe h, Breite b, Elastizitätsmodul E) ist ein Antriebsmotor (Punktmasse m) gelagert (s. Skizze). Durch eine rotierende, konstruktive Unwucht (Masse M, Exzentrizität e) wird das System harmonisch über eine periodisch wechselnde Kraft F mit der Kreisfrequenz Ω erregt. Die Schwingungen des Balkens sind gedämpft (Dämpfungskonstante d).
Welcher Dämpfungsgrad D liegt vor ?
Wie groß ist die Resonanzfrequenz Ω^* des Systems ?
Gesucht sind die Phasenverschiebung α zwischen Kraft und Punktmasse sowie die Amplitude z_o der Masse m bei vorgegebener Erregerfrequenz Ω.
Wie groß wäre die entsprechende Amplitude z_o(Ω^*) bei Erregung mit Resonanzfrequenz ?

Für Flatterhafte

m=1580 kg L1=1.34 m k1=29 kN/m L2=1.71 m k2=35 kN/m ΘS=2350 kgm2

Gesucht sind die Eigenkreisfrequenzen ω₁, ω₂ von Hub-Nickschwingungen des skizzierten Fahrzeugs mit der Masse m. Das Massenträgheitsmoment der Anordnung bzgl. des Schwerpunkts S hat den Wert Θ_S.

Für Harmoniebedürftige

h=0.2 mm b=2 mm E=72000 MPa ρ=3.4 g/cm3

Welche Länge L muss die Metallzunge (Breite b, Höhe h) einer Stimmhilfe für Musikinstrumente haben, damit sie in der ersten Biege-Eigenschwingung mit dem Stimmton a¹ (f=440 Hz) schwingt ?
Das Material hat die Dichte ρ und den Elastizitätsmodul E.
Welche Frequenzen haben die 2. bzw. die 3. Eigenschwingung ?

Für Intelektuelle

a I ρ E m

Ermitteln Sie symmetrische Eigenschwingformen und zugehörige Eigenkreisfrequenzen eines beidseitig fest eingespannten Biegestreifens (Länge 2a, Flächenmoment 2. Ordnung I, Dichte ρ, Elastizitätsmodul E) mit einer mittig angebrachten Punktmasse. Variieren Sie bei Ihren Untersuchungen die singuläre Masse m im Verhältnis zur Stegmasse.

Für Verdrehte

a=0.2 mm ρ=3 mg/mm3 A=100 μm2 E=120 GPa I=850μm4 J=9.6·10-5 μg mm2

Berechnen Sie die ersten 3 Eigenkreisfrequenzen des skizzierten Biegeschwingers (Länge 2a, Dichte ρ, Elastizitätsmodul E, Querschnittsfläche A, Flächenmoment 2. Ordnung I) mit einem mittig angebrachten singulären Teilkörper (Massenträgheitsmoment J). Der Teilkörper führt Kippschwingungen φ(t)<<π/2 um die Mittellage aus, die über das lokale Biegemoment synchron an die Biegeschwingungen der Stege gekoppelt sind.

Für Träge

L=1 mm ρ=4 mg/mm3 A=250 μm2 E=100 GPa I=720 μm4 m=20 μg J=0.4 μg mm2

Ermitteln Sie die ersten 3 Eigenkreisfrequenzen sowie die zugehörigen Eigenschwingformen eines einseitig fest eingespannten Biegestegs (Länge L, Dichte ρ, Querschnittsfläche A, Elastizitätsmodul E, Flächenmoment 2. Ordnung I) mit einem starren Körper (Masse m, Massenträgheitsmoment J) am freien Ende (s. Skizze). Beachten Sie bei den Randbedingungen am freien Ende Querkraft und Moment, hervorgerufen durch die Trägheit des starren Körpers.
Welche Grenzwerte der Parameter m und J führen zu den Eigenschwingungen eines 2-seitig fest eingespannten Balkens bzw. eines einseitig fest eingespannten Biegeträgers mit zusätzlichem Loslager am anderen Ende? Testen Sie dies mit dem Applet, welches über den folgenden Lösungspfeil aufgerufen werden kann.

Für Kontaktfreudige

λ1 = m/ρAL λ2 = J/ρAL3 λ3 = kL3/EI

In der Kontaktresonanzspektroskopie lässt sich mittels eines resonanten Messfühlers die lokale Variation des Elastizitätsmoduls in Oberflächenschichten erfassen.
Ein geringfügig vereinfachtes, mechanisches Modell (s. Skizze) betrachtet diesen Messfühler als einseitig fest eingespannten Mikrobiegesteg (Länge L, Dichte ρ, Elastizitätsmodul E, Querschnittsfläche A, Flächenmoment 2. Ordnung I) mit einem starren, elastisch gelagerten, schmalen Körper (Masse m, Massenträgheitsmoment J, Kontaktsteifigkeit k) am freien Ende. Der Steg wird innerhalb vorgegebener Frequenzbereiche mit wechselnden Frequenzen harmonisch erregt. Eine statische Vorkraft gewährleistet den ständigen Kontakt des Fühlers zur Oberfläche.
Die Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen ändern sich mit der lokalen Steifigkeit (Federkonstante k) der zu vermessenden Oberflächenschicht.
Erstellen Sie die charakteristische Gleichung der Eigenwerte.
Ermitteln Sie die ersten beiden Eigenfrequenzen bei vorgegebenen Werten EI/ρAL⁴, λ₁ und λ₂ in Abhängigkeit vom Parameter λ₃ (s.o.).
Beachten Sie die vorangehenden Aufgaben!
Wie berechnen sich die Frequenzen der Biegeeigenschwingungen, wenn die Aufhängung der skizzierten Anordnung in Form eines bimorphen Biegestegs vorliegt?

Für Erregte

ρA = 0.96kg/dm L = 1.5m EI = 40kNm2

Welchen Wert hat die niedrigste Erregerkreisfrequenz Ω, bei welcher der skizzierte Biegeträger (Dichte ρ, Elastizitätsmodul E, Querschnittsfläche A, Flächenmoment 2. Ordnung I) in der Wirkungslinie der singulären, harmonisch erregenden Kraft einen Schwingungsknoten aufweist?
Bei welcher Erregerkreisfrequenz tritt erstmalig Resonanz auf?

Für Schwungvolle

ρ A L E I

Die skizzierte Brücke (mittlere Materialdichte ρ, Elastizitätsmodul E, Querschnittsfläche A, Spannweite L, Flächenmoment 2. Ordnung I) wird zu lateralen Biegeschwingungen angeregt. Die erste Biegeeigenschwingung soll durch eine singuläre Zusatzmasse getilgt werden, die in der Mitte des Biegeträgers über eine Feder an die Brücke gekoppelt ist.

• Substituieren Sie dazu die skizzierte Anordnung durch das Ersatzmodell eines 2-Massen-Feder-Schwingers, indem Sie die kontinuierlich verteilte Masse im Biegeträger durch eine effektive Punktmasse m_eff ersetzen, welche im Anregungsfall die gleiche, über eine Periode gemittelte, kinetische Energie besitzen soll, wie das schwingende Kontinuum.
• Die Amplitude der singulären, effektiven Masse soll der maximalen Auslenkung in der Mitte des Biegeträgers entsprechen.
• Die elastische Brücke werde durch eine einzelne Feder mit der Federkonstante k_eff ersetzt, so dass die Kombination aus Masse und Feder mit der gleichen Frequenz schwingt, wie der originale Biegeschwinger in der ersten Eigenschwingung.

Welche Werte müssen Ersatzmasse und Federsteifigkeit annehmen?
Nutzen Sie die Möglichkeit der Schwingungstilgung im Ersatzmodell des harmonisch erregten 2-Massen-Feder-Schwingers zur Kompensation der Grundbiegeschwingung in der vorgegebenen Anordnung. Die tilgende Zusatzmasse habe den Wert m_eff/4; die Steifigkeit der zugehörige Feder sei k_eff/4.
Wie groß sind die beiden Eigenkreisfrequenzen des 2-Massen-Feder-Schwingers?

Lösung: m_eff=0.3965 ρAL, k_eff=198.46 EI/L³, ω₁=17.45 √(EI/ρA) / L², ω₂=28.66 √(EI/ρA) / L²

Weisen Sie nach, dass sich die Eigenfrequenzen des Ersatzmodells deutlich von der Eigenfrequenz der Biegeschwingung unterscheiden, welche getilgt werden soll.

Wie verändern sich die berechneten Werte, wenn der Biegeträger zusätzlich mit einer axialen Längszugkraft N vom 0.5-fachen Eigengewicht der Brücke vorgespannt ist?

Für Musikalische

D=0.6 mm L=65 cm E=80 GPa ρ=2.5 g/cm3

Mit welcher Kraft F muss eine Saite (Durchmesser D, Länge L) vorgespannt werden, damit sie in der ersten Eigenschwingung mit einer Tonhöhe von f=220 Hz schwingt ?
Die Einspannung entspricht der Skizze. Die Saite, deren geringe, aber nachweisbare Biegesteifigkeit berücksichtigt werden soll, hat eine Dichte ρ und den Elastizitätsmodul E.

Für Ängstliche

m k lo

Wie lautet die Lagrangefunktion des skizzierten elastischen Pendels, welches aus einer masselosen Feder (Federkonstante k) besteht, an der eine Punktmasse m aufgehängt ist ?
Ermitteln Sie die Bewegungsgleichungen bzgl. der beiden Freiheitsgrade φ (Auslenkung) und l (variable Pendellänge). Die entspannte Feder habe die Länge l_o.

ISBN 978-3-446-42166-0

© pwill