Üben macht Technische Mechanik verständlich - Vergessen macht sie erträglich.

  Statik  Reibung   Elastizität  Dynamik   Schwingungen 

Für Verdrehte

[momente] F1=3F/2
F2=3F/2
F3=F
F4=F
b=2d
h=3d

An einem prismatischen Körper wirken die Kräfte F1 bis F4 (s. Skizze).
Es ist der resultierenden Momentenvektor in Referenz zum Ursprung des Koordinatensystems (x,y,z) zu ermitteln.

[arrow] Lösung: Fd(-1,-3/2,1)

Für Schizoide

[knoten] F1=60 kN
D=17 mm
τs=66.5 MPa
β2=29°
β3=47°

Bei einer Stahlkonstruktion treffen drei Flachstäbe in einem Knotenpunkt gemäß Abbildung zusammen. Der Stab 1 ist mit einer Zugkraft F1 belastet.
Wieviel Niete (Durchmesser D) wären für eine Verbindung der einzelnen Stäbe (1,2,3) mit einem Knotenblech jeweils notwendig, damit die zulässige Abscherspannung τs des Nietmaterials nicht überschritten wird ?
Begründen Sie Ihr Ergebnis rechnerisch. Hinweis: Die Skizze entspricht nicht der konkreten Lösung.

Lösung: 4, 3, 2 Niete

Für maritime Gartenfreunde

[Fass] H=1.6 m
R=0.35 m
rf=1 kg/dm3
rb=8 kg/m2

Bei welcher Füllstandhöhe h liegt der Gesamtschwerpunkt eines mit Flüssigkeit (Dichte rf ) gefüllten zylindrischen Fasses (Radius R, Höhe H) am niedrigsten?
Das Fass ist aus Blech mit einem spezifischen Gewicht rb gefertigt; ein kreisförmiger Deckel fehlt.
Die Blechdicke kann gegenüber den sonstigen Abmessungen vernachlässigt werden.

[arrow] Lösung: h=2.70 dm

Für Biertrinker

[dose] H=12 cm
d=7 cm
ρ=1 kg/dm3
G=1.12 kg/m2

Eine zylindrische Getränkedose (Höhe H, Durchmesser d) ist mit einer Flüssigkeit (Dichte ρ) gefüllt. Das Dosenblech hat ein spezifisches Gewicht G.
Bei welchem Flüssigkeitsstand h liegt der Schwerpunkt S des Gesamtsystems am niedrigsten; wie groß ist das zugehörige Flüssigkeitsvolumen ?
Eine mögliche Trinköffnung soll vernachlässigt werden.

Lösung: Volumen=100 cm3

Für Televisionäre

[pro7] R=6 m
H=2 m

Das Logo des Privatsenders Pro7 soll aus statischen Gründen oberhalb seines Gesamtflächenschwerpunkts an einem Gebäude befestigt werden.
Das Symbol setzt sich aus zwei Teilflächen (näherungsweise: Viertelkreis, Rechteck) zusammen (s. Skizze). Geben Sie die Lage des Schwerpunkts im skizzierten Koordinatensystem an.

[arrow] Lösung: (xS,yS)=(3.32,3.87) m

Für Ausgeglichene

[Scam] mC=0.8 kg
mD=0.5 kg
CD=40 cm
CS=50 cm
CM=50 cm
SA=10 cm

Die skizzierte steady-cam Anordnung bestehend aus Kamera C (Masse mC), Display D (Masse mD), Akkupack A (Masse mA) und Ausgleichsgewicht M (Masse m) soll so ausbalanciert werden, daß sich der Aufhängepunkt S im Schwerpunkt des Gesamtsystems befindet. Die Schwerpunkte der Einzelelemente liegen alle in einer Ebene.
Die Verbindungselemente sollen näherungsweise massefrei sein. Die Stäbe zwischen Kamera und Display sowie zwischen Kamera und Akkupack bzw. Aufhängepunkt bilden zur Horizontalen jeweils einen Winkel von 45°.
Welche Massen müssen Ausgleichsgewicht und Akkupack jeweils haben ?

Lösung: m=0.566 kg, mA=7.328 kg

Für Standhafte

[a4] r=10 m
b=1.4 m
h= 0.6 m
μ=0.8

Bei welcher Grenzgeschwindigkeit va bricht der skizzierte Kleinwagen (Spurweite b, Schwerpunkthöhe h) beim Durchfahren einer Kurve (Radius r, Haftreibungskoeffizient μ) aus ?
Bei welcher Geschwindigkeit vk würde er, ein Ausbrechen in der Kurve ausgeschlossen, beginnen zu kippen ?
Hinweis: Kollereffekte der abrollenden Räder im mitrotierenden Bezugssystem sollen ebenso wie Hub- Nickschwingungen im skizzierten, quasistatischen Modell vernachlässigt werden.

[arrow] Lösung: va=31.9 km/h, vk=38.5 km/h

Für Fehlgeleitete

[fehlkonstruktion] h=4.62 dm
b=2.00 dm
β=30°
γ=30°
M=-1 Nm

Auf einer starren Platte (s. Skizze) wird eine Schraube mit dem Moment M angezogen. Die Platte ist in der Ebene mit 3 Pendelstäben fixiert.
Bestimmen Sie die Reaktionskräfte FA, FB, FC in den Lagern.
Erklären Sie deren extreme Werte.

[arrow] Lösung: FA=-19280 N, FB=16700 N, FC=-9640 N

Für Gelenkige

[dreigelenkbogen] h=b=5 m
F1=F2=1 kN
F3=2 kN

Berechnen Sie die, in der Zeichnung rot markierten, Kräfte in den Gelenken A, B, C des skizzierten Dreigelenkbogens.

[arrow] Lösung: (FAx,FAy)=(-0.125,0.25) kN, (FCx,FCy)=(-0.875,0.75) kN, (FBx,FBy)=(-0.875,2.75) kN

Für Fachleute

[Fwerk2] F1=2.31 kN
F2=2.0 kN

Ermitteln Sie die Lager- und Stabkräfte des skizzierten Fachwerkes.
Das Fachwerk setzt sich aus Stäben gleicher Länge zusammen.

Lösung: FAx=0 kN, FAy=2 kN, FBx=-2.31 kN
S1=-2.31 kN, S2=0 kN, S3=1.15 kN, S4=1.15 kN
S5=-1.15 kN, S6=-1.15 kN, S7=2.31 kN, S8=1.15 kN
S9=-1.15 kN, S10=2.31 kN, S11=-1.16 kN

Für Geradlinige

[Fachwerk] L=1 m
F=10 kN

Berechnen Sie die Stabkräfte des skizzierten Fachwerks unter der Belastung F.

Lösung: S1=60 kN, S2=-22.4 kN, S3=-40 kN
S4=11.2 kN, S5=30.4 kN, S6=-32.5 kN, S7=S8=5.6 kN

Für Kniefällige

[khpresse] α=γ=0.07 rad
β=0.14 rad
Q=100 N
L=0.5 m
E=210 GPa

Gesucht ist die resultierende Stempelkraft P der skizzierten, symmetrischen Kniehebelpresse im statischen Gleichgewicht.
Steuergröße ist die Querkraft Q. Sie streckt über den Kniehebel, bestehend aus den Stäben 1, die beiden vertikalen Kniehebel (Stäbe 4 und 5) und presst so den Stempel mit der Kraft P gegen ein umzuformendes Werkstück. Der zum Stab 4 parallele Stab 3 sichert die horizontale Führung der Stäbe 2.
Wie groß muss das Flächenmoment 2. Ordnung I des Druckstabs 5 (Länge L) mindestens sein, damit er bei der aktuellen Belastung nicht ausknickt ?
Das Stabmaterial hat den Elastizitätsmodul E.

[arrow] Lösung: P=6725 N, I>0.41 cm4

Für Dachverbände

[Dachbinder] a=c=1 m
b=2 m
d=3.89 m
L=12 m
F1=3 kN
F2=12 kN

Berechnen Sie die Stabkräfte des skizzierten Dachbinders.

Lösung: S1=-12.7 kN, S2=9 kN, S3=0.7 kN, S4=-11.0 kN, S5=-0.7 kN, S6=10.0 kN

Für Fanatiker

[Fachwerk] a=1 m
b=3 m
c=2 m
d=2 m
e=2 m
f=0.5 m
F1=1 kN
F2=4 kN
α=47.4°

Berechnen Sie die Stabkräfte des skizzierten Fachwerkes. Die äußere Belastung erfolgt durch die Kräfte F1 und F2.
Beachten Sie das um den Winkel α zur Horizontalen gekippte Loslager.

[arrow] Lösung: S1=-2.18 kN, S2=-2.18 kN, S3=1.26 kN S4=-2.21 kN, S5=-1.51 kN, S6=0.23 kN

Welche Werte nehmen die Stabkräfte bei einem Winkel α=90° an?


Für Skurrile

[Fachwerk] a=1 m
F=10 kN

Ermitteln Sie die Stabkräfte im skizzierten Fachwerk.
Die äußere Belastung ist eine in Richtung der Stabachse 3 gerichtete Kraft F.

Lösung: S1=-4.30 kN, S2=-2.92 kN, S3=-2.75 kN, S4=-2.80 kN, S5=-4.51 kN

Für Durchhänger

[Haengebruecke] b=40 m
h=5 m
qo=1.5 kN/m
β=1.0472 rad
D=0.5 m
μ=0.8

Berechnen Sie den horizontalen Seilzug SH, die maximale Seilkraft Smax sowie die Seillänge L zwischen den Pfeilern der skizzierten Hängebrücke (Spannweite b, Durchhang h).
Unter welchem Winkel α zur Horizontalen läuft das Seil am Pfeiler ein?
Das gewichtslose Seil ist durch die Brückenelemente mit einer konstanten Linienkraft qo belastet.
Das Seil ist an den Pfeilern über eine Kreisscheibe (Durchmesser D) gelegt; es wird unter dem Winkel β abgespannt.
Wie groß ist die Spannkraft F? Berücksichtigen Sie die Reibung zwischen Scheibe und Seil (Haftreibungskoeffizient μ).
Mit welchem Biegemoment Mz werden beide Pfeiler belastet?
Wie groß müsste der Durchhang mindestens sein, damit die maximale Seilkraft einen Wert von 50kN nicht überschreitet?

[arrow] Lösung: SH=60 kN, Smax=67.1 kN, L=41.61 m, α=0.464 rad, F=20.0 kN, Mz=±11.8 kNm, h=7.5 m

Für Gleiche

Turm h=25 m
G=100 kN
Ao=0.5 m2
ρ=2 kg/dm3

Der skizzierte Turm trägt auf der oberen Plattform (Querschnittsfläche Ao) technische Ausrüstung mit dem Gewicht G. Alle Querschnitte über die gesamte Höhe h sollen der gleichen Druckbelastung ausgesetzt sein (Bauteil gleicher Festigkeit).
Beachten Sie das Eigengewicht des Materials (Materialdichte ρ).
Welche Querschnittsfläche muss der Turm am Fundament haben, um die genannte Bedingung zu erfüllen?
Wie groß ist das Gewicht des entsprechenden Turms?

[arrow] Lösung: 5.81 m2, 1.06 MN

Für Galgenvögel

Galgen h=12 m
b=4 m
q=1.5 kN/m
F=2 kN

Ermitteln Sie die Lagerreaktionen sowie Längskraft-, Querkraft- und Momentenverlauf im skizzierten Tragwerk.
Äußere Lasten sind eine konstante Linienkraft q und die Einzelkraft F.

[arrow] Lösung

Für Beengte

Rahmen h=5 m
a=2 m
b=3 m

q0=2 kN/m
F=5 kN
tanα=0.9

Ermitteln Sie die Lager- und Gelenkreaktionen sowie Längskraft-, Querkraft- und Momentenverlauf im skizzierten Rahmen.
Äußere Lasten sind eine von Null auf q0 linear anwachsende Linienkraft und die Einzelkraft F.

[arrow] Lösung

Für Indiskrete

 
Winkel
h=2 m
b=4 m
qo=2 kN/m
F=10 kN

Ermitteln Sie die Lagerkräfte der skizzierten Anordnung sowie Querkräfte und Biegemomente in beiden Schenkeln des Winkels.
Geben Sie die lokalen Schnittgrößen in Form von Querkraft- und Momentendiagrammen an.
Äußere Belastungen sind die singuläre, horizontale Einzelkraft F sowie eine konstante, senkrecht nach unten gerichtete Linienlast qo.
Überprüfen Sie, ob lokale Querkräfte und Biegemomente kompatibel zueinander sind.

[arrow] Lösung

Für Streber

 
Rahmen
a=2 m
qo=0.5 kN/m

Ermitteln Sie die lokalen Schnittgrößen (axiale Längskraft, Querkraft, Biegemoment) in den beiden Streben des skizzierten, einteiligen, rechtwinkligen Rahmens - beginnend am Festlager im Uhrzeigersinn.
Die Linienlasten haben einmal den maximalen zum anderen den konstanten Wert qo

Lösung:
Horizontale Strebe: Nx(x1) = - qoa, Qz(x1) = ¼ qoa[⅓-(x1/a)2], My(x1) = qoax1[1-(x1/a)2]/12
Vertikale Strebe: Nx(x2) = - 11qoa/12, Qz(x2) = qo(a-x2), My(x2) = - ½ qo(a-x2)2

Zeichnen Sie die Momentendiagramme in beiden Streben.


Für Weitsichtige

[tele] f=12 m

Das gegenwärtig leistungsfähigste Teleskop der ESO (Very Large Telescope) besteht aus 4 aktiv gelagerten, gekoppelten Hohlspiegeln mit je einem Durchmesser von 8.2 m.
Die riesigen Spiegel wurden im Schleudergussverfahren hergestellt. Die Kombination von Zentrifugal- und Schwerkraft, hervorgerufen durch eine kontinuierliche Rotation der Gussform (Winkelgeschwindigkeit ω), sichert dabei in der Abkühlphase die gewünschte, paraboloidförmige Oberfläche der einzelnen Teleskopspiegel.
Welche Drehzahl n ist notwendig, um einen Hohlspiegel mit der Brennweite f zu gießen ?

Hinweis: Eine Parabel der mathematischen Form z=ar2 hat ihren Brennpunkt auf der Mittelachse in der Entfernung f=0.25/a vom Scheitel.

[arrow] Lösung: n=6.1/min

Für Gespannte

[Spannungen 3d] σxx= 50 MPa
σyy= 20 MPa
σzz= -50 MPa
τxy= 10 MPa
τxz= -10 MPa
τyz= 5 MPa

Berechnen Sie die Hauptspannungen im skizzierten Volumenelement eines homogenen, isotropen Materials. Nutzen Sie das folgende Applet zum Vergleich mit Ihren Resultaten.
Gegeben sind die Werte zum Spannungstensor im kartesischen Koordinatensystem (x,y,z).

[arrow] Lösung: σ1=53.7 MPa, σ2=17.8 MPa, σ3= -51.5 MPa
Spannungstensor → Hauptspannungen
Bitte füllen Sie das untere Dreieck des Spannungstensors vollständig auf.


[Hilfe !]

5. Auflage

libreka.de
ISBN 978-3-446-42166-0
5. Auflage, 208 Seiten, 14.90 €
Formeln ziehen Erfahrung auf Flaschen. [flaschen]


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